جواب کاردرکلاس صفحه 68 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس 1 صفحه 68 حسابان دوازدهم سلام! **مجانب افقی** خطی است که نمودار تابع در **بی‌نهایت** (هنگامی که $x \to +\infty$ یا $x \to -\infty$) به آن نزدیک می‌شود، بدون اینکه لزوماً آن را قطع کند. برای یافتن مجانب افقی $y = L$，باید $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$ باشد. در اینجا $L=2$ است. 🚀 --- ### تحلیل نمودارها (بررسی $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 2$) #### الف) نمودار الف (Graph 1) * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (نمودار به بالا می‌رود) * $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ (نمودار به خط چین $y=2$ نزدیک می‌شود) * **نتیجه:** چون حد در $-\infty$ برابر 2 است، خط $y=2$ مجانب افقی تابع است. #### ب) نمودار ب (Graph 2) * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ (نمودار به خط چین $y=2$ نزدیک می‌شود) * $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ (نمودار به خط چین $y=2$ نزدیک می‌شود) * **نتیجه:** چون حد در $+\infty$ و $-\infty$ برابر 2 است، خط $y=2$ مجانب افقی تابع است. #### پ) نمودار پ (Graph 3) * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (نمودار به بالا می‌رود) * $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ (نمودار به پایین می‌رود) * **نتیجه:** تابع مجانب افقی ندارد. #### ت) نمودار ت (Graph 4) * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ (نمودار به خط چین $y=2$ نزدیک می‌شود) * $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ (نمودار به خط چین $y=2$ نزدیک می‌شود) * **نتیجه:** چون حد در $+\infty$ و $-\infty$ برابر 2 است، خط $y=2$ مجانب افقی تابع است. #### ث) نمودار ث (Graph 5) * $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (نمودار به بالا می‌رود) * $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ (نمودار به $y=1$ نزدیک می‌شود، نه $y=2$) * **نتیجه:** خط $y=2$ مجانب افقی تابع نیست. ### توابع دارای مجانب افقی $y=2$ خط $y=2$ در نمودارهای **الف، ب و ت** مجانب افقی تابع است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 68 حسابان دوازدهم برای یافتن مجانب‌ها، از قوانین حد در بی‌نهایت (برای مجانب افقی) و حد نامتناهی (برای مجانب قائم) استفاده می‌کنیم. 📐 --- ### الف) $f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 1}$ #### 1. مجانب افقی (HA) **قاعده:** برای تابع گویا، حد در بی‌نهایت برابر است با نسبت بزرگترین توان‌های صورت و مخرج: $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$$ * **نتیجه:** حد برابر $0$ است. پس خط **$y = 0$** مجانب افقی است. #### 2. مجانب قائم (VA) **قاعده:** ریشه‌های مخرج که صورت را صفر نکنند (بعد از رفع ابهام). * **ریشه‌های مخرج:** $x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1) = 0 \implies x = 1, x = -1$ * **تجزیه تابع:** $$f(x) = \frac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)}$$ * **بررسی $x = -1$:** ریشه مشترک است. حد آن را حساب می‌کنیم: $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{2}$$ چون حد متناهی است، **$x = -1$ مجانب قائم نیست** (حفره است). * **بررسی $x = 1$:** ریشه غیرمشترک است (صورت $\neq 0$): $$\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1 + 1}{0} = \frac{2}{0} = \pm \infty$$ * **نتیجه:** خط **$x = 1$** مجانب قائم است. --- ### ب) $g(x) = x^3$ #### 1. مجانب افقی (HA) **قاعده:** حد در بی‌نهایت: $$\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$$ * **نتیجه:** حد متناهی نیست. پس مجانب افقی **ندارد**. #### 2. مجانب قائم (VA) **قاعده:** مجانب قائم در ریشه‌های مخرج (فقط برای توابع گویا یا توابع با دامنه محدود) رخ می‌دهد. $g(x)$ یک چندجمله‌ای است و در همه جا پیوسته است. * **نتیجه:** مجانب قائم **ندارد**. --- ### پ) $h(x) = \frac{x^2 + 1}{x + 1}$ #### 1. مجانب افقی (HA) **قاعده:** درجه صورت ($n=2$) > درجه مخرج ($m=1$). $$\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} x = \pm \infty$$ * **نتیجه:** حد متناهی نیست. پس مجانب افقی **ندارد**. #### 2. مجانب قائم (VA) **قاعده:** ریشه‌های مخرج که صورت را صفر نکنند. * **ریشه‌های مخرج:** $x + 1 = 0 \implies x = -1$ * **بررسی صورت در $x = -1$:** $$N(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$$ چون $N(-1) = 2 \neq 0$ است، در این نقطه حالت $\frac{2}{0}$ خواهیم داشت. * **نتیجه:** خط **$x = -1$** مجانب قائم است. --- ### خلاصه مجانب‌ها | تابع | مجانب افقی (HA) | مجانب قائم (VA) | |:---:|:---:|:---:| | الف) $f(x)$ | $y = 0$ | $x = 1$ | | ب) $g(x)$ | ندارد | ندارد | | پ) $h(x)$ | ندارد | $x = -1$ |